【奧數揭秘】破解題目關鍵 可免重複計算
問題：在100至999的整數中，選出其中一個整數x。那麼有多少個x，使得x²及(x+100)²兩數的位數相同？
答案：留意到100²=10000是五位數，999²＜1000²=1000000小於最小的七位數，故此是六位數。由於1000²剛好是七位數，那麼x由900到999這100個整數中，題目中兩個平方數的位數不同。
通過驗算，得知316²=99856而317²=100489，剛好是五位數和六位數的分界，那樣x由217到316這100個整數中，題目裏兩個平方數位數不同。
於是共有900－100×2=700個整數x，使得題目中兩個平方數的位數相同。
題目裏x的範圍取平方時都只是五六位數，再大就是七位數，最後的100個整數會令上述兩平方數位數有分別，再考慮範圍中的邊界位置，就可找到共有多少個x令該兩平方數位數相同。
仔細看題解，發覺當中找316和317這個分界不太好找，始終要做些算術，即使估算得到邊界大概是300多，但要知道確實位置仍要逐個算出來。有沒有辦法繞過這個麻煩呢？
在100至999之間，平方數都是五六位，當中有個邊界位置，比如a²是五位數，(a+100)²剛好是六位數，於是x選取a,a+1,a+2,…,a+99共100個數，這些取平方數時都是五位數，而(x+100)²都是六位數。這個想法就無需找出316和317這兩個具體數字，也就免了繁雜的計算過程。
上邊這個想法要求更嚴謹，且要知道一定有至少100個數取平方後是五位數才行。不過這一點也很容易知道，只要考慮200²=40000，就知道至少有100個數取平方後是五位數，仍然無需逐個計算以求得316這個關鍵數字。
這樣看來，通過驗算去求取316這個分界是不必要的，不過，開始探索題目時嘗試去求分界是平常的思路，而能夠繞過這麻煩的一點，是一個比較精巧的思路，解題速度會有較大的差異。
由這點看，題目能分辨不同程度的學生的能力，並不只是學生懂與不懂的分別，而是在懂得做的學生中仍有細緻的速度差異，比起平常的難題能對學生能力有更仔細的區分。
這點仔細區分的特性，跟題目裏的數字有密切的關係，比如當中x+100變成x+400的話，上述繞過求邊界的做法也就不適用了，因此題目裏100這個數，是保留題目分辨學生水平特性的關鍵。
競賽題裏，判斷好題目的標準之一就是對學生水平分辨力，題目有許多解法，速度差異可以很大。比如平常的思路，可能就被封住了，根本解不了，即使解得了又會很慢，如有些巧思就可以做得快很多。競賽裏不時出現的巧算題就是這一類，多數是按着普通算術計算就很花時間，若是有技巧的話就能一兩分鐘做完。
題目若有多樣解法，練習起來就特別有啟發性，令人感受到巧思帶來的趣味，有動力去追求更精巧的想法。● 張志基
香港數學奧林匹克學校
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
