【奧數揭秘】解集的面積問題 競賽入門好題目
下方的問題用到了[x]的符號，意思為小於或等於x的最大整數，例如[4.1]=4，[4]=4，[－4.2]=－5。另外有「解集」的概念，就是一個方程的所有解的集合，比如方程(x－1)(x－2)=0，解集為{1, 2}，是數線上的兩點。若果是方程[x]=1，那樣解集就是[1,2)，即是由1至2裏的所有實數，包括1但不包括2，圖像上是一條直線，長度為1。有了這些基礎後，就可以看看下方的問題。
問題：求滿足[x]×[y]=2000的解集面積。
答案：留意到[x]及[y]都是整數，於是先考慮到2000的正整數分解，分別為1×2000, 2×1000, …, 40×50。
舉例來說，若果是40×50的情況，那麼其中一個可能，就是[x]=40及[y]=50，其中x的解集就是[40,41)，y的解集就是[50,51)，兩者同時成立，綜合起來，在圖像上是一個正方形，解集面積為1個單位。
除此以外，還有([x],[y])=(50,40),(－40,－50) 或(－50,－40)的情況，解集面積都是1個單位，故此每種分解的情況，解集面積都有4個單位。
上述分解的各情況來說，容易列舉出10個分解式，故此解集面積為10×4=40。
上邊的解法，先是留意到[x]為整數，然後分解2000。要注意的是，整數分解時比正整數多了負整數的部分。另外，每個分解的情況中，[x]和[y]的數值互相調轉又是另一情況，切記不要遺漏。為了討論得具體一點，上方找了其中一個情況討論，於是見到在正整數的分解看來，解集是一個正方形，也容易找到面積。
題解裏列舉出各個正整數分解的做法並不是最快的，只是易說明，只需要知道2000有20個正整數因數，可以通過質因數分解成24×53，那樣把指數各自加1相乘，得知有(4+1)×(3+1)=20個因數。
這次的題目比較容易，不過解集的概念對學生來說可能會有點陌生，因為課內概率的課題才略微談及集合，較少進一步用來表示圖像裏一個範圍或再進一步談及面積之類，這次的問題對平常學生來說也有點新鮮感。
在課內的數學裏，有時答案是以參數表示的，比如將問題的答案以常數k表示，得到的代數式有時比較複雜。若果在參數表示下把解集用圖像表示，看來就具體多了，還可以套上幾何技巧，去弄清楚解集中各個解的關係。
這次的題目，若在競賽入門的階段做，既見識了新符號，又有解集的新概念，細節上因數分解又要想起有負數的情況，做起來技巧相對容易，即使做錯了看過答案也能理解，算是入門的好題目。
● 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
