【奧數揭秘】汲取課外知識 豐富解難思路
問題：兩位數10有個特性，就是比它的十位數與個位數的平方和大9。求全部有相同特性的兩位數。
答案：設兩位數為AB，那麽特性用代數式表示，就是10A+B=A²+B²+9。
移項後可化成(A²－10A+25)+(B²－B)=16，整理後得(A－5)²+B(B－1)=16，這等式左方的平方數部分，由於A只能是1至9，那樣平方數只能是0, 1, 4, 9或16，可以分別代入，看看當中有沒有哪個平方數，加上兩個連續數的積是16。
若是平方數代入0, 1或9，容易看到沒有相應的B，符合條件。
若平方數為4，則B(B－1)=12，便知B為4。
若平方數為16，則B(B－1)=0，B可以是0或1。
留意每個平方數，對應兩個A值，解得AB為34, 74, 10, 11, 90及91。
題目條件限制了兩位數的十位與個位，於是用代數式表示出來，就可以嘗試解相關的不定方程。把原本的關係式化成平方數與兩個連續數之積相加，也只是其中一個想法而已，因為等號右方是16，左方兩個項都不會是負數，試起來分類情況少，之後對應的B也很易找。當中要留意每個平方數對應兩個A值，這一點比較容易錯。
原來的問題是談一個數各個位的關係，又有條件限制，這樣的題目把各個位設成未知數，就會出現不定方程。不定方程是數學裏的大課題，簡言之未知數比方程數多的情況一般就是不定方程，其中未知數是正整數的情況在競賽裏特別常見。
不定方程在課內普遍不會見到，因為當中的技巧變化較大，除了一些較著名的題目，例如解二元一次不定方程5x+7y=17的整數解，會有些固定的方法以外，許多題目變化是很大的，都是一邊整理題目的項、略加變化，慢慢發現當中的資訊。若果在課內出現，對普遍學生來說較困難。
競賽題主要是在訓練解難應變的能力，在解不定方程裏表現得特別明顯，代數移項和整理的方式是很自由的，只要符合數理，很難說哪個方向一定不可行。例如上邊的題目，可以配方後再乘以4，整理成(2A－10)²+(2B－1)²=65，這樣看看哪兩個平方數加起來是65，也是另一種看法。
要是在體驗一些競賽題時，對不定方程的興趣大了，可以看些初等數論的書，在網上找很容易可以找到。一些外國大學數學系的數論筆記大概會介紹整除、不定方程、同餘之類的，都比較初等的，這些課題都有幾十頁去說明，還有例題、練習及大部分詳解，閱讀這些筆記比較容易自學。
在競賽題的解難過程中，對問題產生興趣，然後在尋找相關問題的書中見到相關的理論，以至對理論產生興趣、閱讀相關的書、吸收前人的理論是競賽題乃至古今數學學習的常見路徑。現下網上資源豐富，能看到的書是有很多的，重要的是好好培養自學能力。● 張志基
香港數學奧林匹克學校
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
