【奧數揭秘】從碰運氣到理解分析 先定基礎再拔高
題解把找未知數的問題變成了二進制表示的問題，由於二進制表示的唯一性，就得到了唯一的一組解，從而找到答案。
初看題目，見着2的幾次方，還要拼個小數出來，要想憑空試幾個未知數，碰運氣找出答案，可能不容易。如果系統一點思考，先試最大且最接近4.625的數，比如22=4，就可以排除4，再看看其他2的次方會接近0.625，之後也可以找到0.5和0.125這兩個小數，是2的負次方，就找到了答案。只是難免要思考：這樣找出來的答案是不是唯一？會不會換一種試數字的方式，會找到不同的答案？
用上述二進制表示的唯一性當然是一種解釋的方法，要是對這個結果不滿意，想要多些數理解釋，也是可以的。
比如，開始時不用4來試，之後加幾個較大的2的次方，能否拼湊出4.625呢？其實是不會的，理解起來很容易，若果最大的項是2，這裏只有3個項，一定小於2或之後的項加起來，那就是2+1+1/2+1/4+…=4。這裏用上了等比數列無限項的和，因而看得出，2或更小的項加起來，是不會超過4的，普遍來說，就是或更小的幾個項加起來，不會超過2x+1。那樣就說明，最大的必不是2，只能是4，於是之後每次也只能選取2的最大次方，也是同一道理。這裏就說明了選取的方式是唯一的。
做題時，不同水平的學生也會有不同想法。比如初中生，初接觸競賽數學，試幾個數剛好試出了答案，應該會很有成就感。當然，要更深入的理解，又要有一番解釋。這道題的數理解釋講起來也有難度。一方面，初中課堂里二進制未必會講到小數部分，也較少特別提到表示式的唯一性。另一方面，若果用之前提到的無限項的和，在課程內是高中內容，要預先學過才可以用得上這樣的解釋。
實際上，也可以用直觀圖解，比如說一條線段裏，若果塗黑了一半，再不斷在餘下的線段中不斷地取一半塗黑，那樣塗黑的範圍不會超過原本的線段。這在初中階段是比較直觀易懂的解釋。
高小和初中的時間最適合學生學習競賽數學，這段時間多少有些呈分試和升中的考慮，學生動力會大一點，態度會比較認真，不自覺之間已經學了許多中學課題的內容。初中的時候沒有公開試推動，但是由於時間比較多，可以專注於競賽數學的練習上，進步可以很快。
不過，這些年級基礎知識比較少，學生自己需要針對性地鞏固基礎，選擇適合自己水平的拔尖課程，才容易把握住黃金時機，好好發展。
● 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
