【奧數揭秘】智取難題 以小見大
問題：在十萬到一百萬之間的整數中，有多少個各數字沒有重複，且數字由左至右數起，由小至大排列？
答案：留意各數字當中，不可能有0，否則最左方數字為0。在範圍當中的數，符合條件的都是六位數，這樣在數字1至9當中，取6個數字，將它由小至大排列，就得出一個符合條件的數，而符合條件的數，也是可以這樣得到，於是這樣的數有C⁹₆=84個。
解題時列舉一下，容易發現不可能有0，要是多列舉幾個這樣的數，也會發現，只要選定了那6個數字，排列次序就唯一確定了。明白之後逐個數去數算，轉化為數算以6個數為一組、有多少組的問題，那樣就會用上組合數，得出84個數。
在解題之中，若果思路局限於去嘗試逐個數，列舉起來就複雜了許多。上述解法之所以簡潔，都是因為由逐個數去數，變成逐個組合去數，那樣想通了才能較快地計算出來。
通過逐個組合計算，最終得出84，要是想列舉出來，好像就太多了。若是想再驗證一下，不妨把題目範圍改得小一點，比如看看三位數的情況，然後把1至9改為1至5，這樣就能列舉出來：123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345，共10個數，於是就找到了想法跟上方一致、又比較確定的結論。
排列組合的問題一旦用上了乘法、排列數或組合數，計算出來的數一般都很大。若是想確認一下答案，平常也不易找到別的方法，最好的方法就是能一題多解，在多個想法中得到同一結論，那就最好。不過，若能力本身已足夠一題多解，且遠超這道題所能測試的水平，可能也未必需要進一步確認了。
在部分題目來說，把情景簡化，比如範圍收窄、變化減少，盡量維持原本題目裏的脈絡，看看同樣的想法，能否應用在簡化的情景中，然後用列舉的方法，逐個結果檢視，那就是能夠對結論增加信心的方法了。
這裏嘗試以小見大的做法，有一個細節要留意，就是把六位數變成三位數。要是沒改成1至5，而是維持1至9的話，那樣數出來，一樣是個數，沒有變得更簡潔，列舉同樣麻煩，這樣對確認結論沒有幫助。把9改成5，組合數計出來，只有10至20左右，才容易列舉。所以說，單是嘗試用以小見大的想法，是未夠做得好的，當中還是有些細節的技巧，要在做題目當中鍛煉出來。
在思考中能以小見大，很能鍛煉解題思維，不再局限於強硬破解，而是能夠做到智取。不過，單是想以小見大是不夠的，操作起來有許多細節，嘗試應用時有成功與失敗，若是想要做得好，還是要自己一步一步地練出來。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
