【奧數揭秘】出錯不可怕 嘗試才進步
問題:求兩位數AB,使得該數的平方是A!+1。
答案:試取A為4,5,6,7,……,得4!+1=25,5!+1=121,6!+1=121,7!+1=5041。若A再大一點,計算出來的數已超過10000,不會是兩位數的平方。檢算各數之中,符合條件的只有其中最後一個5041是71²,因此該數是71。
解題過程中,之所以可以列舉出各樣情況去把答案試出來,是因為階乘增長很快的,計幾個數就會大於10000,那樣之後就無需考慮。只需計算幾次,檢查一下條件,很快就得出了答案。
題目對奧數入門來說是挺簡單的,不過若果本身對階乘有點陌生,又怕試起來很複雜,沒開始逐個去試就放棄了,那就可惜了。
剛開始做題時,未必習慣於在經驗裏找線索,或者以為要學些什麼新知識、新技巧,才可以做得到,這都是很平常的事。面對陌生的東西,平常人也會覺得可能要學一些新知識才可以。
這其實有一個過渡的階段,就是初學者遇上一些題目,乍一看沒思路,但又覺得印象中學過類似的知識,或者按着題目的條件嘗試一下,就會產生一些猜想。剛開始這些嘗試解題的想法可能不完全正確,會有些錯誤的部分,但糾正這些錯誤,也是解難重要的一環。
開始嘗試解決難題的階段,多半會不斷想起各樣覺得可能的想法,可以先寫下來然後做些推論,對這當中錯誤的地方進行驗證和反覆修正,這樣在增減之中,會浮現出較確定的部分,之後將確定的部分嘗試串連起來,可能就會發現解難的線索。
學生有時會急於寫一些正確的步驟,尤其是對自己有要求的學生,很想將答案寫得很工整,於是不太情願去寫一些可能出錯的步驟,其實這相當於自設障礙,錯誤無法用文字表達出來,在腦海裏又修正不了,最後就會想不通。如果一邊寫一邊改,把好的壞的主意都寫出來篩選一下,那樣想法就清晰了。
經歷了訓練階段後,學生解題時錯誤的想法會減少。在未解出題目前就能有許多比較可靠、錯誤較少的推論和猜想是能力提升的象徵。能想出多種解題思路,並且大多正確是很不容易的。
思考能力要在嘗試、出誤與改正之中成長,倘若因害怕出錯只想寫下正確的想法,在思前想後之中,可能就錯過了許多有用的嘗試。
◆ 張志基
簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。
◆香港數學奧林匹克學校