【奧數揭秘】掌握已知線索 推理得出答案
問題：設f(x)=(x－3)²－1，求滿足f(∣x∣)=∣f(x)∣的實數x的範圍。
答案：已知f(x)為一元二次方程，考慮圖像為拋物線，頂點為(3,－1)，開口向上。考慮
f(x)=0，得x－3=±1，得x截距為4或2。
f(x)的圖像為圖一，是平常的拋物線圖像。
∣f(x)∣的圖像為圖二，則是把圖一的y值小於0的部分，沿x軸反射。
f(∣x∣)的圖像為圖三，即是把圖一裏保留x大於0的部分，再沿y軸反射。
從圖像可得知，圖二和圖三重複的部分，也就是0≤x≤2或x≥4的部分。
題解中涉及函數圖像，用上繪圖軟件來說明後就容易知道範圍。若是沒繪圖軟件，就需要對包含絕對值的函數圖像有足夠的了解才行。
大致來說，包含絕對值的圖像，相對於原本未包含絕對值的情況而言，更需要留意絕對值符號內代數式變成負數的情況。比如上邊題目裏的等式，左方若x為0或正實數時，在圖三會見到，跟圖一是一樣的，分別都在x為負數的部分。而等式右方，若分f(x)為0或正實數時，圖一和圖二的相應部分是一樣的，分別都在f(x)為負數的部分。
上邊等式左方的f(∣x∣)(圖三)中，y軸右方的圖像跟原本f(x)（圖一）一樣，那怎樣想到左方的圖像是怎樣？未有繪圖軟件，對圖像未太熟悉的時候，可以先找幾點做個對應，然後才歸納出整體情況。例如知道f(3)=－1，由絕對值的特質，也易知f(∣－3∣)=－1，那就找到其中一點。然後反覆代入幾個易計算的整數點，比如x為1、2、4等等，相應有－1、－2、－4，也會出同一個y值，也就容易說服得了自己，那個圖像是左右對稱。
而等式右方的∣f(x)∣(圖二)，除了f(x)本身就大於或等於0的部分，那些f(x)變成負數的，也就另外考慮。比如考慮頂點f(3)=1，得知∣f(3)=1∣，那就發覺有些數值位置有分別，可以多取幾點看看。由於圖像是連續的，用筆畫起來時，也就易看出趨勢變化，發現圖像在x軸以下的部分，會反射到x軸上方去。
面對絕對值或者其他陌生的函數，先考慮跟原本較熟悉的函數，有什麼共通處，然後再差異處理，仔細代入數值，再由圖像連續的性質，看看圖像初步的輪廓，多少能掌握這個新的圖像。
絕對值的部分，課內也有涉及，只是談到圖像以至圖像的變換和比較較少。在圖像的變換來說，課內談起左右平移，或沿着x軸或y軸放大縮小，也已經是不少學生的難點，若是進一步談及絕對值的圖像，大概普遍比較吃力。
學生學圖像變換時往往會為了記憶各樣變換背一些口訣，形成一種固定做法，於是一旦偏離了原本的知識範圍，對圖像就覺得一無所知。
事實上，圖像變換後共通的部分還是有很多的，只要仔細代入一些數值，比如什麼時候有同一個y值、同一個x值又會算出怎樣的y值，不時會找到很多線索。探索未知，可以由已知開始。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
