【奧數揭秘】生活處處有數學
問題：設k為正整數。圖像y＜k及y＞∣x∣相交的區域內，包含至少90個格點。求k的最小值。
答案：如圖一，兩圖像相交的區域，就是陰影部分，當中的格點，就是圖中的點，坐標皆為整數的部分。
容易看出，格點由下至上，點數分別是1,3,5,7,…的單數，由等差數列的公式，得知1+3+5+…+(2n－1）=n²，即第n行就有n²那麼多點。考慮平方數，得知10²＞90＞92，故此剛好比90大的平方數為10²，即格點有10行，再上行就是k，因此k為11。
在圖像中大致畫出範圍後，發現格點的分布很有規律，依次把單數加起來，套公式也很容易找到剛好大於90的平方數，最後留意k比格點的行數多一就找到了答案。
這裏談起的不等式，重疊的區域是個等腰直角三角形，看出平常的等腰直角三角形可以反過來看，並用這些不等式的重疊區域來描述。假如有一個等腰直角三角形，比如牆上掛着的錦旗，如果要用代數表示它的形狀，就可以用這些不等式組來表示。
這其實有點超出了日常思維，平常人看到等腰直角三角形，也不見得會想到跟中三時學到的不等式或者高中時學到的線性規劃有關。
事實上，生活裏見到的物件，用數學來描述，也可以有比平常的語文更精準的表達，就連每一點的具體位置都有個清晰的表達式，這就是數學語言的特色。
圖形本身可以有代數形式的表達，比如一個圓形及其內部，用代數式表達，就是x²+y²≤r²，要是考慮日常的立體圖形，相關的不等式變量就會多些。
此外，除了可見的靜物，還有物件移動的軌跡，可以是一些空間裏的曲線，例如歌舞團的絲帶舞，絲帶擺動時呈現的移動軌跡也可以用代數來描述。
數學在精確描繪現實物件和動態方面有強大的功能，於是配合了電腦軟件之後，就可以用來模擬真實存在的物體，比如用在電腦遊戲和動畫裏。
隨着電腦計算功能的改良，近年的遊戲和動畫的仿真程度也高了許多。在短片分享的網站裏，也有人比較了二三十年來一些動畫的畫面，例如下雨時地上的漣漪，近年也是越來越精細。
早年香港也曾有個彼思動畫的展覽，談起當中刻畫場景時用上了許多數學知識，更有些專業的數學家在幕後做了許多工作。
生活裏用上了數學的視角，想像一下如何用代數描述各樣物件，很快就會發現中學裏學的數學是不夠用的。單是談起一塊飄揚中的旗幟，就設計三維空間裏的曲面，如何用數學描述呢？這也是有趣的問題。又或者，曲面上的面積，如何計算，也是一個疑問。可能找多點資料，就找到了大學的微分幾何裏去了。
生活裏其實處處有數學，需要自己聯想與應用，好像學了外語，也要在生活裏多說多練，才會感到這些外語跟自己生活之間的聯繫。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
