【奧數揭秘】梯形裏的數字
這次談一道梯形對角線的問題，講講當中的技巧與各個數字的關係，再看看改變一下各數字，會造成什麼分別。
解題中直接用餘弦定理，3和2的夾角，剛好就跟下方的α互補，而α又是等腰三角形ABC的底角，於是求cosα就很容易。這些串連在一起，很快就求到BD。
在看題目時，其實是未有圖的，要自己畫出來，若果沒有心思去按着比例畫，那說不定會問起，那個2是在哪一邊，沒跟兩個12形成三角形的話，在另一邊可能嗎？
有懷疑的時候，也就不妨稍為按比例想想，由於數字的差異也太大了，很容易就看出2只能跟兩個12形成等腰三角形。要是覺得按比例想太依賴目測，不太精確，那也可以用三角不等式來想，就是若果好像圖那樣，而2在左方的AD話，那樣在△ABC裏，2 + 3 < 12，就違反了三角不等式。
這裏提起的三角形不等式，會限制了2的位置，也就是說，2這個數字若果變大一點，是會令到答案有兩個可能，而關鍵就是那個三角不等式的條件。若果想維持數字是正整數的話，例如將2改成10，就有10 + 3 > 12，那樣△ADC又可以形成三角形，△ABC也可以，那樣對角線的長度也會有兩個答案。
之後又可以再問一下，若果滿足了那個三角不等式的條件，2是不是改成多大都可以呢？初步來說，也是看到限制的，比如同樣用起三角不等式，也知道AD ≤ 3 + 12 = 15。要是去到差不多15的時候，整個圖形大概扁得像一條直線似的。去到這個極限的情況，對角線BD仍然有兩個答案。
這樣看看那個長度為2的邊，看着改變了怎樣，對題目又增添一些了解。
另外，那個對角線的12，也是有點作用的，比如解題中，若果△ABC不是等腰，那樣做起來又要用上餘弦公式。這個雖然也可以做到，只是比起等腰的情況，計算上就顯得複雜些，沒有等腰的情況那麼直接。
比起長度2的邊和對角線12這個長度，上下底的3和12就好像沒那麼大的趣味了，在解題時沒見到有很關鍵的影響，大概只是一些基礎資料而已。
幾何題來說，若果題目裏圖也沒有的，單是給了幾個數字，然後推論之中，作圖之中，漸漸發現當中許多線索和限制，知道各個數字之間，哪些是基礎資料，哪些決定了一些圖形特性，是一個有趣的探索過程。做這些幾何題時，開始時覺得疑惑，不知道那些數字怎樣分布，其實也是一個學習階段。到作圖再沒有懷疑，已經是能力成長了。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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