【奧數揭秘】梯形裏的數字


  這次談一道梯形對角線的問題,講講當中的技巧與各個數字的關係,再看看改變一下各數字,會造成什麼分別。

  解題中直接用餘弦定理,3和2的夾角,剛好就跟下方的α互補,而α又是等腰三角形ABC的底角,於是求cosα就很容易。這些串連在一起,很快就求到BD。

  在看題目時,其實是未有圖的,要自己畫出來,若果沒有心思去按着比例畫,那說不定會問起,那個2是在哪一邊,沒跟兩個12形成三角形的話,在另一邊可能嗎?

  有懷疑的時候,也就不妨稍為按比例想想,由於數字的差異也太大了,很容易就看出2只能跟兩個12形成等腰三角形。要是覺得按比例想太依賴目測,不太精確,那也可以用三角不等式來想,就是若果好像圖那樣,而2在左方的AD話,那樣在△ABC裏,2 + 3 < 12,就違反了三角不等式。

  這裏提起的三角形不等式,會限制了2的位置,也就是說,2這個數字若果變大一點,是會令到答案有兩個可能,而關鍵就是那個三角不等式的條件。若果想維持數字是正整數的話,例如將2改成10,就有10 + 3 > 12,那樣△ADC又可以形成三角形,△ABC也可以,那樣對角線的長度也會有兩個答案。

  之後又可以再問一下,若果滿足了那個三角不等式的條件,2是不是改成多大都可以呢?初步來說,也是看到限制的,比如同樣用起三角不等式,也知道AD ≤ 3 + 12 = 15。要是去到差不多15的時候,整個圖形大概扁得像一條直線似的。去到這個極限的情況,對角線BD仍然有兩個答案。

  這樣看看那個長度為2的邊,看着改變了怎樣,對題目又增添一些了解。

  另外,那個對角線的12,也是有點作用的,比如解題中,若果△ABC不是等腰,那樣做起來又要用上餘弦公式。這個雖然也可以做到,只是比起等腰的情況,計算上就顯得複雜些,沒有等腰的情況那麼直接。

  比起長度2的邊和對角線12這個長度,上下底的3和12就好像沒那麼大的趣味了,在解題時沒見到有很關鍵的影響,大概只是一些基礎資料而已。

  幾何題來說,若果題目裏圖也沒有的,單是給了幾個數字,然後推論之中,作圖之中,漸漸發現當中許多線索和限制,知道各個數字之間,哪些是基礎資料,哪些決定了一些圖形特性,是一個有趣的探索過程。做這些幾何題時,開始時覺得疑惑,不知道那些數字怎樣分布,其實也是一個學習階段。到作圖再沒有懷疑,已經是能力成長了。

  ◆ 張志基

  簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

  ◆香港數學奧林匹克學校